SymPy 常用整理

SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。

以下使用导入并开启漂亮的打印

import sympy

sympy.init_printing(pretty_print=True)

有理数 Rationals

1

sympy.Rational(1, 3)

out： $\frac{1}{3}$

特殊的无理数

1

sympy.pi, sympy.E, sympy.oo

out：$\displaystyle \left( \pi, \ e, \ \infty\right)$

代数运算

声明一个代数符号

1
2

x = sympy.Symbol('x') # 注意，声明一个代数的时候 S 为大写
x

out: $𝑥$

声明多个代数符号

1
2

x, y = sympy.symbols('x y')
x, y

out: $\displaystyle \left( x, \ y\right)$

声明带下标的代数符号

1
2

x1, x2 = sympy.symbols('x1 x2')
x1, x2

out：$\displaystyle \left( x_{1}, \ x_{2}\right)$

简单的代数运算

1

x ** 2 + 2 * x + 1

out：$\displaystyle x^{2} + 2 x + 1$

1

x1 + x2 ** 2 - x2 + x1 /2

out：$\displaystyle \frac{3 x_{1}}{2} + x_{2}^{2} - x_{2}$

展开和分解

1

x, y = sympy.symbols('x y')

展开多项式

1

sympy.expand((x + y) ** 2)

out：$\displaystyle x^{2} + 2 x y + y^{2}$

展开三角函数

1

sympy.expand(sympy.sin(x + y), trig=True)

out：$\displaystyle \sin{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)} \cos{\left(x \right)}$

化简

1

sympy.simplify((x + x*y) / x)

out：$\displaystyle y + 1$

求和运算Sum

$$
\frac{1}{1^2+2\cdot 1} + \frac{1}{2^2+2\cdot 2} + \cdots + \frac{1}{10^2+2\cdot 10}
$$

1
2

expr = sympy.Sum(1/(x**2 + 2*x), (x, 1, 10))
expr.doit()

expr：$\displaystyle \sum_{x=1}^{10} \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ out： $\displaystyle \frac{175}{264}$

乘积运算 Product

$$
\frac{1}{1^2+2\cdot 1} \times \frac{1}{2^2+2\cdot 2} \times \cdots \times \frac{1}{10^2+2\cdot 10}
$$

1
2

expr = sympy.Product(1/(x**2 + 2*x), (x, 1, 10))
expr.doit()

expr：$\displaystyle \prod_{x=1}^{10} \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ out：$\displaystyle \frac{1}{869100503040000}$

极限计算

$$
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}
$$

1

sympy.limit(sympy.sin(x)/x, x, 0) # 1

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x
$$

1

sympy.limit(x, x, sympy.oo)             # ∞

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}
$$

1

sympy.limit(1/x, x, sympy.oo)         # ∞

左极限和右极限

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}，\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}
$$

1
2

sympy.limit(1/x, x, 0, dir='+')        # ∞
sympy.limit(1/x, x, 0, dir='-')        # −∞

导数

1

sympy.diff(x**2, x)

out：$\displaystyle 2 x$

1

sympy.diff(sympy.sin(2*x), x)

out：$\displaystyle 2 \cos{\left(2 x \right)}$

1

sympy.diff(sympy.sin(x**2+2*x), x)

out：$\displaystyle \left(2 x + 2\right) \cos{\left(x^{2} + 2 x \right)}$

多阶导数

1

sympy.diff(x**2, x, 2) # 2(x**2对 x 求二阶导数)

积分

不定积分

$$
\int_{ -\infty }^{ \infty } 6x^5
$$

1

sympy.integrate(6 * x**5, x)

out：$x^6$

定积分

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x
$$

1

sympy.integrate(sympy.sin(x), (x, 0, sympy.pi/2))

out：1

解方程

解一元方程

1

sympy.solve(x**2-3*x+2, x)

out：$\displaystyle \left[ 1, \ 2\right]$

解二元方程

1

sympy.solve([x+5*y-2, -3*x+6*y-15], [x, y])

out：$\displaystyle \left{ x : -3, \ y : 1\right}$

代数运算

1
2

expr = x**2 + 2*x + 1
expr

out：$\displaystyle x^{2} + 2 x + 1$

1. 令 x = 2

1

expr.subs(x, 2)

out：9

2. 令 x = y + 1

1

expr.subs(x, y+1)

out：$\displaystyle 2 y + \left(y + 1\right)^{2} + 3$

阶乘

1
2
3

n = sympy.Symbol('n')
a = sympy.factorial(n)
a.subs(n, 5)

out：120

多元函数的代数

1
2

expr = x ** 3 + 4 * x * y - z
expr

out：$\displaystyle x^{3} + 4 x y - z$

1

expr.subs([(x, 2), (y, 4), (z, 0)])

out：40

字符串转 SymPy 表达式

1
2
3

str_expr = "x**2 + 3*x - 1/2"
expr = sympy.sympify(str_expr)
expr

out：$\displaystyle x^{2} + 3 x - \frac{1}{2}$

概率论问题

导入框架import sympy.stats

骰子问题

1. 创建一个有 6 个面的骰子

1

x = sympy.stats.Die('x', 6)

2. 查看每个面出现的概率

1

sympy.stats.density(x).dict

out：$\displaystyle \left{ 1 : \frac{1}{6}, \ 2 : \frac{1}{6}, \ 3 : \frac{1}{6}, \ 4 : \frac{1}{6}, \ 5 : \frac{1}{6}, \ 6 : \frac{1}{6}\right}$

3. 随机丢一个骰子

1

sympy.stats.sample(x)        # out: 5

4. 丢出骰子大于 3 的概率

1

sympy.stats.P(x > 3)

硬币问题

1. 创建一个硬币

1

c = sympy.stats.Coin('c')

2. 查看每个面出现的概率

1

sympy.stats.density(c).dict

out：$\displaystyle \left{ H : \frac{1}{2}, \ T : \frac{1}{2}\right}$

与创建两个面的骰子类似

正态分布

1. 创建一个标准正态分布

1

z = sympy.stats.Normal('z', 0, 1)

2. 标准正态分布中数据大于 1 的概率

1
2

sympy.stats.P(z > 1).evalf()
# out: 0.158655253931457